Exposé 1 : Théorie de matroïdes et polynôme de Tutte
On donnera une introduction à la théorie des matroïdes. On présentera des notions et constructions classiques de la théorie, on donnera également des exemples et applications motivantes. Ensuite, on discutera de propriétés du polynôme de Tutte (un polynôme associé à un matroïde) ainsi que ses applications à divers domaines : polynôme d'Ehrhart, théorie de nœuds, etc.
Exposé 2 : Idéaux et complexes simpliciaux des matroïdes
On expliquera comment un idéal IM peut être associé naturellement à un matroïde M. On discutera une conjecture ancienne due à N. White stipulant que IM est engendré par des quadratiques correspondant aux échanges symétriques de bases. On étudiera également la propriété d'intersection complète de IM et son lien avec les mineurs de M. Finalement, on discutera une vieille conjecture de Stanley stipulant que les h-vecteurs des complexes simpliciaux des matroïdes sont des
O-suites pures.
Exposé 3 : Théorie des matroïdes orientés et convexité
On donnera une introduction à la théorie des matroïdes orientés. On introduira des notions et propriétés classiques, on parlera entre autres de leur représentation topologique. On discutera quelques applications aux divers problèmes de convexité : transformations projectives et polytopes, partition de Radon, problèmes de type Helly, etc.
Bibliographie
N. White (ed.), Theory of matroids, Cambridge University Press, (1986).
J. G. Oxley, Matroid theory, Oxford Science Publications, (1992).
N. White (ed.), Matroid applications, Cambridge University Press, (1992).
Exposé 4 : Semigroupes, le nombre de Frobenius et la fonction de Moebius
Après avoir introduit les semigroupes et le problème diophantien de Frobenius, on étudiera
la fonction de Moebius d'un ordre partiel associé aux semigroupes Zm. On expliquera comment la série de Hilbert
d'un semigroupe permet de calculer la fonction de Moebius. Ceci nous permettra de calculer, entre autres, la fonction de Moebius classique (arithmétique).
Bibliographie
J. Ramírez Alfonsín, The diophantine Frobenius problem, Oxford University Press (2005).